Question

【题目】已知函数（， ， ），是自然对数的底数．

（Ⅰ）当， 时，求函数的零点个数；

（Ⅱ）若，求在上的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ） ， ，由导数性质得是（0，+∞）上的增函数，是（-∞，0）上的减函数，由此能求出f（x）的零点个数．
（Ⅱ）当x∈[-1，1]时， ，由导数性质得f（x）是[-1，0]上的减函数，[0，1]上的增函数，由此利用导数性质和构造法能求出a的取值范围．

试题解析：

（Ⅰ），∴，∴，

当时， ，∴，故是上的增函数，

当时， ，∴，故是上的减函数，

， ，∴存在是在上的唯一零点；

， ，∴存在是在上的唯一零点，

所以的零点个数为2．

（Ⅱ） ，

当时，由，可知， ，∴，

当时，由，可知， ，∴，

当时， ，

∴是上的减函数， 上的增函数，

∴当时， ， 为和中的较大者．

而，设（），

∵ （当且仅当时等号成立），

∴在上单调递增，而，

∴当时， ，即时， ，∴．

∴在上的最大值为.