Question

【题目】已知椭圆： 的上下顶点分别为，且点． 分别为椭圆的左、右焦点，且．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）点是椭圆上异于， 的任意一点，过点作轴于， 为线段

的中点．直线与直线交于点， 为线段的中点， 为坐标原点．求

的大小．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】试题分析：（1）由顶点坐标得再在中利用椭圆几何条件得．（2）利用向量数量积研究的大小．先设 ，则得 ．求出直线与直线交点，得 ．再根据向量数量积得，根据代入化简得，即得．

试题解析：解：(Ⅰ)依题意，得．又，

在中， ，所以．

所以椭圆的标准方程为．

(Ⅱ)设 ， ，则 ， ．

因为点在椭圆上，所以．即．

又 ，所以直线的方程为．

令，得 ．

又 ， 为线段的中点，所以 ．

所以， ．

因为

，

所以． ．