Question

已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=

1

2

AB=1，N为AB上一点，AB=4AN，M、S分别为PB，BC的中点．以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立如图空间直角坐标系．
（Ⅰ）证明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为

CM

•

SN

=-

1

2

+

1

2

+0=0，所以CM⊥SN．
（Ⅱ）由题意可得：

SN

=(-

1

2

，-

1

2

，0)，再求出平面CMN的一个法向量利用向量的有关运算，求出两个向量的夹角，进而转化为线面角．

解答：解：建立空间直角坐标系如图所示：则P（0，0，1），C（0，1，0），B（2，0，0），M（1，0，

1

2

），N（

1

2

，0，0），S（1，

1

2

，0）．
（Ⅰ）证明：因为

CM

=(1，-1，

1

2

)，

SN

=(-

1

2

，-

1

2

，0)，
所以

CM

•

SN

=-

1

2

+

1

2

+0=0，
所以CM⊥SN．
（Ⅱ）由题意可得：

SN

=(-

1

2

，-

1

2

，0)，
设

a

=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，

NC

=(-

1

2

，1，0)，

CM

=(1，-1，

1

2

)，
所以

NC

• 

a

=0，

CM

• 

a

=0，
所以可得

x-y+ 1 2 z=0 - 1 2 x+y=0

令x=2，得

a

=(2，1，-2)．
因为|cos?a，

SN

＞|=|

-1- 1 2

3× 2 2

|=

2

2

，
所以SN与平面CMN所成角为45°

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，以便建立空间直角坐标系利用空间向量的有关知识解决空间中线面、线线问题，以及空间角等问题．