题目内容

如图,已知三棱锥P-ABC,∠ACB=90°,CB=4,AB=20,D为AB中点,M为PB的中点,且△PDB是正三角形,PA⊥PC.
(I)求证:DM∥平面PAC;
(II)求证:平面PAC⊥平面ABC;
(Ⅲ)求三棱锥M-BCD的体积.
分析:(1)在三角形PAB中,利用中位线定理可得DM∥PA,再用线面平等的判定定理可以证出DM∥平面PAC;
(2)在三角形PAB中,根据中线PD=
1
2
AB,证出PA⊥PB.再结合PA⊥PC,利用线面垂直的判定定理证出AP⊥平面PBC,从而得到AP⊥BC.同理,证出BC⊥平面PAC,最后用面面垂直的判定定理可以得到平面PAC⊥平面ABC;
(3)根据前面的证明,不难得到DM⊥平面BCM,则DM是三棱锥D-BCM的高,根据题中所给的数据,求出DM=
1
2
PA=5
3
S△BCM=
1
2
S△PBC=2•
21
,从而得到VM-BCD=VD-BCM=
1
3
×5
3
×2
21
=10
7
解答:解:(1)∵△PAB中,D为AB中点,M为PB中点,
∴DM∥PA
∵DM?平面PAC,PA?平面PAC,
∴DM∥平面PAC…(4分)
(2)∵D是AB的中点,△PDB是正三角形,AB=20,
PD=DB=AD=
1
2
AB=10
.…(5分)
∴△PAB是直角三角形,且AP⊥PB,…(6分)
又∵AP⊥PC,PB∩PC=P,PB、PC?平面PBC
∴AP⊥平面PBC.            …(8分)
∵BC?平面PBC
∴AP⊥BC.                 …(10分)
又∵AC⊥BC,AP∩AC=A,AP、AC?平面PAC.
∴BC⊥平面PAC.…(12分)
∵BC?平面ABC.
∴平面PAC⊥平面ABC.…(14分)
(3)由(1)知DM∥PA,由(2)知PA⊥平面PBC,
∴DM⊥平面PBC.…(15分)
∵正三角形PDB中易求得DM=5
3
,…(16分)
S△BCM=
1
2
S△PBC=
1
2
1
2
BC•PC=
1
4
•4•
102-42
=2
21
.…(17分)
VM-BCD=VD-BCM=
1
3
×5
3
×2
21
=10
7
.…(18分)
点评:本题给出一个特殊的三棱锥,通过求证线面平行、面面垂直和求体积,着重考查了空间的线面平行判定定理和直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定和性质,属于中档题.
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