题目内容
设双曲线
-
=1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点．（如图）
（1）证明：无论P点在什么位置，总有|
|2=|
•
|(O为坐标原点)；
（2）若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（1）证明：无论P点在什么位置，总有|
| OP |
| OQ |
| OR |
（2）若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围．
（1）设OP的方程为 y=kx，AR的方程为 y=
(x-a)，
解得
=(
，
)，同理可得
=(
，
)．
∴|
•
|=|
+
|=|
．
设
=(m，n)，则由双曲线方程与OP方程联立解得：
∴
∵点P在双曲线上，∴b2-a2k2＞0，无论点P在什么位置，总有 |
|2=|
•
|．
（2）由条件得：
=4ab，即 k2=
＞0，
∴4b＞a，∴e=
=
＞
=
，即 e＞
．
| b |
| a |
解得
| OR |
| -ab |
| ak-b |
| -kab |
| ak-b |
| OQ |
| ab |
| ak+b |
| kab |
| ak+b |
∴|
| OQ |
| OR |
| -ab |
| ak-b |
| ab |
| ak+b |
| -kab |
| ak-b |
| kab |
| ak+b |
| a2b2(1+k2) |
| |a2k2-b2| |
设
| OP |
|
∴
|
∵点P在双曲线上，∴b2-a2k2＞0，无论点P在什么位置，总有 |
| OP |
| OQ |
| OR |
（2）由条件得：
| a2b2(1+k2) |
| b2-a2k2 |
| 4b2-ab |
| ab+4a2 |
∴4b＞a，∴e=
| c |
| a |
| ||
| a |
| ||||
| a |
| ||
| 4 |
| ||
| 4 |
练习册系列答案
相关题目
设双曲线
-
=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
A、
| ||||
| B、5 | ||||
C、
| ||||
D、
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