Question

在直角坐标系中，O为坐标原点，直线l经过点P（3，）及双曲线的右焦点F．
（1）求直线l的方程；
（2）如果一个椭圆经过点P，且以点F为它的一个焦点，求椭圆的标准方程；
（3）若在（1）、（2）情形下，设直线l与椭圆的另一个交点为Q，且=λ，当||最小时，求λ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）确定双曲线的右焦点坐标，利用两点式，可求方程；
（2）设出椭圆的标准方程，利用焦点坐标及点P在椭圆上，求出几何量，即可得到椭圆的标准方程；
（3）直线方程，代入椭圆方程，求出Q的坐标，进而可的坐标，求模长，利用配方法求最值，即可得到结论．
解答：解：（1）由题意双曲线的右焦点为F（2，0）
∵直线l经过点P（3，），F（2，0）
∴根据两点式，得所求直线l的方程为
即y=（x-2）．
∴直线l的方程是y=（x-2）．
（2）设所求椭圆的标准方程为
∵一个焦点为F（2，0）
∴c=2，即a²-b²=4  ①
∵点P（3，）在椭圆上，
∴ ②
由①②解得a²=12，b²=8
所以所求椭圆的标准方程为；
（3）由题意，直线方程代入椭圆方程可得x²-3x=0
∴x=3或x=0
∴y=或y=-2
∴Q（0，-2）      
∴
∴=λ=，
∴=
∴
∴当λ=时，最小．
点评：本题考查直线与椭圆的方程，考查向量知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．