Question

如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，直线AB⊥x轴与点C，|

OC

|=4，

CD

=3

DO

，动点M到直线AB的距离是它到点D的距离的2倍．
（I）求点M的轨迹方程
（II）设点K为点M的轨迹与x轴正半轴的交点，直线l交点M的轨迹于E，F两点（E，F与点K不重合），且满足

KE

⊥

KF

．动点P满足2

OP

=

OE

+

OF

，求直线KP的斜率的取值范围．

Answer 1

分析：（I）欲求点M的轨迹方程，由椭圆的定义知动点M的轨迹是以点D为焦点、直线AB为其相应准线，离心率为

1

2

的椭圆，只须求出其a，b，c即可．
（II）先设设直线EF的方程为x=my+n，代入椭圆方程得到关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系结合向量条件求得n的值，再利用向量关系式表示出直线KP的斜率，最后求出斜率的取值范围．

解答：解：（I）依题意知，点M的轨迹是以点D为焦点、
直线AB为其相应准线，离心率为

1

2

的椭圆
设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，
又|

OC

|=4，

CD

=3

DO

，
∴点D在x轴上，且

CD

=3，则

a2

c

-c=3
解之得：a=2，c=1，b=

3

．
∴坐标原点O为椭圆的对称中心．
∴动点M的轨迹方程为：

x2

4

+

y2

3

=1；（4分）
（II）设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
设直线EF的方程为x=my+n，
代入

x2

4

+

y2

3

=1得（3m²+4）y²+6mny+3n²-12=0．（5分）
△=36m²n²-12（3m²+4）（n²-4），
y1+y2=-

6mn

3m2+4

，y1y2=

3n2-12

3m2+4

.x1+x2=m(y1+y2)+2n=

8n

3m2+4

，x1x2=

4n2-12m2

3m2+4

（6分）
∵

KE

⊥

KF

，∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0，
∴

4n2-12m2-16n+12m2+16+3n2-12

3m2+4

=0，∴7n²-16n+4=0．
解得：n=

2

7

，n=2（舍）．（8分）
设P（x₀，y₀），由2

OP

=

OE

+

OF

知，
x0=

x1+x2

2

，y0=

y1+y2

2

．
直线KP的斜率为k=

y0

x0-2

=

m

7m2+8

．（10分）
当m=0时，k=0；
当m≠0时，k=

1

7m+ 8 m

，
∵7m+

8

m

≥4

14

(m=

8 7

时取“=”）
或7m+

8

m

≤-4

14

(m=-

8 7

时取“=”），
∴k∈[-

1

4 14

，0)∪(0，

1

4 14

]（12分）
综上所述k∈[-

14

56

，

14

56

]．（13分）

点评：本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线，向量的运算等基础知识，以及求最值的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力．