Question

【题目】设函数对任意、都有，且当时，.

（1）证明为奇函数；

（2）证明在R上是减函数；

（3）若，求在区间上的最大值和最小值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）最大值为，最小值为.

【解析】

（1）令求得的值，再令可得出，由此可得出结论；

（2）任取，利用题干中的等式以及该函数的奇偶性可得出，得出与的大小关系，由此可得出结论；

（3）计算出和的值，利用（2）中的结论可得出结果.

（1）由于函数对任意、都有，

该函数的定义域为，令，可得，

再令，可得，即，，

因此，函数为奇函数；

（2）设，则，

，则，所以，，

因此，函数在上是减函数；

（3）因为函数在上是减函数，

所以，函数在上也是减函数，

所以，函数在上的最大值和最小值分别为和，

而，，

因此，函数在上的最大值为，最小值为.