Question

10．下列几个命题：
①函数$y=\sqrt{{x}^{2}-1}+\sqrt{1-{x}^{2}}$是偶函数，但不是奇函数；
②方程x²+（a-3）x+a=0的有一个正实根，一个负实根，a＜0；
③f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=2x²+x-1，则x≥0时，f（x）=-2x²+x+1
④函数y=$\frac{3-{2}^{x}}{{2}^{x}+2}$的值域是（$-1，\frac{3}{2}$）．
其中正确的有（　　）

• A． ②④
• B． ①③④
• C． ①②④
• D． ①②③

Answer 1

分析 求出函数的定义域，把原函数化简后判断①；
由方程x²+（a-3）x+a=0有一个正实根，一个负实根求出a的取值范围判断②；
根据定义在R上的奇函数有f（0）=0判断③；
换元后求出函数y=$\frac{3-{2}^{x}}{{2}^{x}+2}$的值域判断④．

解答 解：①由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1≥0}\\{1-{x}^{2}≥0}\end{array}\right.$，得x=±1，∴$y=\sqrt{{x}^{2}-1}+\sqrt{1-{x}^{2}}$=0（x=±1），则函数$y=\sqrt{{x}^{2}-1}+\sqrt{1-{x}^{2}}$既是偶函数，又是奇函数，①错误；
②若方程x²+（a-3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，则$\left\{\begin{array}{l}{（a-3）^{2}＞0}\\{a＜0}\end{array}\right.$，解得a＜0，②正确；
③f（x）是定义在R上的奇函数，则x=0时，f（0）=0，③错误；
④函数y=$\frac{3-{2}^{x}}{{2}^{x}+2}$=$-\frac{{2}^{x}+2-5}{{2}^{x}+2}=\frac{5}{{2}^{x}+2}-1$，
∵2^x＞0，∴2^x+2＞2，则$0＜\frac{5}{{2}^{x}+2}＜\frac{5}{2}$，函数y=$\frac{3-{2}^{x}}{{2}^{x}+2}$的值域是（$-1，\frac{3}{2}$），④正确．
故选：A．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了函数奇偶性的性质，训练了利用换元法求函数的值域，是中档题．