Question

19．定义函数：G（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≥0}\\{1，x＜0}\end{array}\right.$，下列结论正确的②③
①G（a）G（b）=G（a+b）；
②G（a）+G（b）≥2G（$\frac{a+b}{2}$）；
③G（a+b）≥1+a+b；
④G（ab）=G（a）G（b）

Answer 1

分析 画出函数G（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≥0}\\{1，x＜0}\end{array}\right.$的图象，数形结合逐一分析四个结论的真假，可得答案．

解答 解：G（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≥0}\\{1，x＜0}\end{array}\right.$的图象如下图所示：

当a＜0，b＞0时，G（a）G（b）=G（a+b）不成立，故①错误；
函数在y轴左侧的图象平等于x轴不具有凸凹性，函数在y轴右侧为凹函数，
故G（a）+G（b）≥2G（$\frac{a+b}{2}$）恒成立，故②正确；
由图可得：G（x）≥1+x恒成立，故G（a+b）≥1+a+b恒成立，故③正确；
当a，b＞2时，G（ab）=G（a）G（b）不成立，故④错误；
故正确的结论是：②③，
故答案为：②③

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，数形结合思想，难度中档．