Question

1．已知等差数列{a_n}，a₂=6，a₅=18．{b_n}为等比数列，且a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（II）${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$=$\frac{4n-2}{{2}^{3-2n}}$=（2n-1）•4^n-1，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₂=6，a₅=18．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=6}\\{{a}_{1}+4d=18}\end{array}\right.$，解得a₁=2，d=4．
∴a_n=2+4（n-1）=4n-2．
设等比数列{b_n}的公比为q，∵a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁．
∴b₁=2，4q=1，即q=$\frac{1}{4}$．
∴b_n=2×$（\frac{1}{4}）^{n-1}$=2^3-2n．
（II）${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$=$\frac{4n-2}{{2}^{3-2n}}$=$\frac{2n-1}{{4}^{1-n}}$=（2n-1）•4^n-1，
∴数列{c_n}的前n项和T_n=1+3×4+5×4²+…+（2n-1）×4^n-1，
4T_n=4+3×4²+…+（2n-3）×4^n-1+（2n-1）×4ⁿ，
∴-3T_n=1+2×（4+4²+…+4^n-1）-（2n-1）×4ⁿ=$1+2×\frac{4（{4}^{n-1}-1）}{4-1}$-（2n-1）×4ⁿ=$\frac{5-6n}{3}$×4ⁿ-$\frac{5}{3}$，
∴T_n=$\frac{6n-5}{9}×{4}^{n}$+$\frac{5}{9}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，可怜虫推理能力与计算能力，属于中档题．