Question

9、函数f（x）的定义域为（0，+∞）且f（x）＞0，f′（x）＞0，m为正数，则函数y=（x+m）•f（x+m）（　　）

A、是增函数

B、是减函数

C、存在极大值

D、存在极小值

Answer 1

分析：本题中自变量正数，函数值也为正数，又m为正数，因此可以得出函数y=（x+m）•f（x+m）的函数值为正，又f′（x）＞0，可以得出函数f（x）是一增函数，又x+m在（0，+∞）上也是递增的，由此由数的相乘原理可以判断出正确选项．

解答：解：由题设函数f（x）的定义域为（0，+∞）且f（x）＞0，f′（x）＞0
知函数f（x）的定义域为（0，+∞）是一函数值恒为正数的增函数
又m为正数，故x+m也是正数，故f（x+m）是一增函数
由数乘函数的规律知，函数y=（x+m）•f（x+m）是一个增函数，
故选A．

点评：本题考点是函数单调性的判断与证明，考查利用已知函数的单调性与数的相乘原理来判断组合函数的单调性，数乘函数的规律是：一个正数乘以一个函数，所得新的函数的单调性与原函数的单调性相同，一个负数乘以一个函数，所得新的函数的单调性与原函数的单调性相反，想想，可以用定义法证明吗？