Question

如下图，F为双曲线C：=1(a＞0,b＞0)的右焦点。P为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，M为左准线上一点，O为坐标原点。已知四边形OFPM为平行四边形，|PF|=λ|OF|.

（1）写出双曲线C的离心率e与λ的关系式；

（2）当λ=1时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若|AB|=12，求此时的双曲线方程.

Answer 1

(1)解法1：设M′为PM与双曲线右准线的交点，F(c,0),则|PM|=|OF|=c,|OM|=|PF|=λc.

∵e=,|PM′|=|PM|-|MM′|=c-2,

∴e=，即e²-λe-2=0.

解法2：设M′为PM与双曲线右准线的交点，N为左准线与x轴的交点，F(c,0),P(x₀,y₀).

由于P(x₀,y₀)在双曲线右支上，则

x₀=|PM|-|ON|=c-，①

y₀²=(x₀²-a²)，②

由|PF|=λc,得λ²c²=(x₀-c)²+y₀².③

将①②代入③得

λ²c²=(-)²+［(c-)²-a²］.

再将c=ea,b=a代入上式，得

λ²e²=+(e²-1)［(e-)²-1］,

化简，得λ²e²=(e²-2)²④

由题意，点P位于双曲线右支上，从而|PM|＞|MM′|.于是c＞2,即e²＞2.

又λ＞0,所以由④式得e²-λe-2=0.

(2)解：当λ=1时，由e²-e-2=0,

解得e=2.从而c=2a,b==a.

由此得双曲线的方程是=1.

下面确定a的值.

解法1：设双曲线左准线与x轴的交点为N，P点的坐标为(x₀,y₀),则

|ON|==,

|MN|=

==a.

由于P(x₀,y₀)在双曲线的右支上，且位于x轴上方，因而x₀=|MP|-|ON|=|OF|-|ON|=c-=,y₀=|MN|=a.

所以直线OP的斜率为

k=.

设过焦点F且平行于OP的直线与双曲线的交点为A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),则直线AB的斜率为k=,直线AB的方程为y=(x-2a).

将其代入双曲线方程整理得

4x²+20ax-29a²=0.

∵x₁+x₂=-5a,x₁x₂=-a²,

∴|AB|=

==12a.

由|AB|=12，得a=1.

于是，所求双曲线的方程为x²-=1.

解法2：由条件知OFPM为菱形，其对角线OP与FM互相垂直平分，其交点Q为OP的中点.

设OP的方程为y=kx(k＞0),则FM的方程为y=-(x-2a).

由

解得Q点的坐标为().

所以P点的坐标为().

将P点的坐标代入双曲线方程，化简得3k⁴+22k²-45=0.

解得k²=.

因k＞0,故k=.

设过焦点F且平行于OP的直线与双曲线的交点为A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，则直线AB的斜率为k=，直线AB的方程为y=(x-2a).

将其代入双曲线方程，整理得4x²+20ax-29a²=0.

∵x₁+x₂=-5a,x₁x₂=-a²,

∴|AB|=

==12a.

由|AB|=12，得a=1.于是，所求双曲线的方程为x²-=1.