Question

设是以为焦点的抛物线，是以直线与为渐近线，以为一个焦点的双曲线．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若与在第一象限内有两个公共点和，求的取值范围，并求的最大值；
（3）若的面积满足，求的值．

Answer 1

（1）（2）当且仅当时的最大值为9（3）

(1)注意焦点在y轴上，并且由渐近线方程可得到,可求出a,b值，写出双曲线的标准方程.
（II）将抛物线方程与双曲线方程联立消y之后得到关于x的一元二次方程，然后利用此方程有两个不同的正实根，确定出p的取值范围，然后再把用坐标表示出来，再利用韦达定理转化为关于p的函数，再研究其最值即可.
（III）先把面积表示出来，在（II）的基础上，先求出|AB|的长度，再根据点到直线的距离公式求出高,最后把S表示成关于p的函数，根据可建立p的方程，解出p的值.
（1）设双曲线的标准方程为：则据题得：
又双曲线的标准方程为：
（2）将代入到中并整理得：
设则
  又


当且仅当时的最大值为9
（3）直线的方程为：即
到直线的距离为：

又