Question

如图，已知直线l₁：4x+y=0，直线l₂：x+y-1=0以及l₂上一点P（3，-2）．
（Ⅰ）求圆心M在l₁上且与直线l₂相切于点P的圆⊙的方程．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下；若直线l₁分别与直线l₂、圆⊙依次相交于A、B、C三点，利用代数法验证：|AP|²=|AB|•|AC|．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据圆心坐标和圆半径能导出b=-4a．设直线l₂的斜率k₂=-1，过P，C两点的直线斜率k_PC，因PC⊥l₂，k_PC=1，由此可得到所求圆的方程．
（Ⅱ）由题设条件求出A和圆心M（1，-4），由此能得到|AP|和|AM|，再由|AB|•|AC|=（|AM|-r）（|AM|+r）
==|AP|²，化简得证答案．
解答：解：（Ⅰ）设圆心为M（a，b），半径为r，依题意，
b=-4a．（2分）
设直线l₂的斜率k₂=-1，过P，C两点的直线斜率k_PC，因PC⊥l₂，
故k_PC×k₂=-1，
∴，（4分）
解得a=1，b=-4.．（5分）
所求圆的方程为．（6分）
（Ⅱ）联立则A
则．（8分）
圆心M（1，-4），
|AB|•|AC|=（|AM|-r）（|AM|+r）
=
=|AP|²．（11分）
所以|AP|²=|AB|•|AC|得到证明（12分）
点评：本题主要考查圆的几何性质，直线与圆的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和基本解题能力．