题目内容

已知向量
a
=(sinx，1)，
b
=(cosx，1)．
（1）当
a
∥
b
时，求2cos2x-sin2x的值；
（2）求f(x)=
a
•
b
的最小正周期和单调递增区间．
分析：（1）利用向量共线的条件，可得tanx=1，再将2cos2x-sin2x为关于tanx的函数，即可求得结论；
（2）利用向量的数量积运算，并化简函数f(x)=
a
•
b
，即可求得函数的最小正周期与单调递增区间．
解答：解：（1）∵
a
∥
b
，
a
=(sinx，1)，
b
=(cosx，1)．
∴sinx-cosx=0即tanx=1
∴2cos2x-sin2x=
2cos2x-2sinxcosx
sin2x+cos2x
=
2-2tanx
tan2x+1
=0
（2）f(x)=
a
•
b
=sinxcosx+1=
1
2
sin2x+1
∴f(x)=
a
•
b
的最小正周期为T=
2π
2
=π，
-
π
2
+2kπ≤2x≤
π
2
+2kπ
解得-
π
4
+kπ≤x≤
π
4
+kπ，k∈Z
∴单调递增区间[-
π
4
+kπ，
π
4
+kπ]，k∈Z
点评：本题主要考查了向量知识的运用，考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表达式．
（2）用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期上的图象．
（3）写出f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．
（4）设关于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根为x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．
已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，则sin2θ+cos2θ的值为（　　）
已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此结论求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五点法”作出函数y=f（x）在长度为一个周期的闭区间的图象．
②求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
③求函数f（x）的最大值，并求出取得最大值时自变量x的取值集合
④函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？
⑤当x∈[0，π]，求函数y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作图
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