题目内容

若复数x+yi=(1+cosθ)+(t-cos2θ)i(其中x,y,θ∈R),且点(x,y)在抛物线y=x2上,试求实数t的最大值与最小值.

分析：本题以复数的几何意义为载体考查如何建立目标函数及求函数的最值问题.

解：根据两个复数相等的条件,得       

因为点(x,y)在抛物线上,所以t-cos2θ=(1+cosθ)2.    

故t=(1+cosθ)2+cos2θ=1+2cosθ+cos2θ+2cos2θ-1=3cos2θ+2cosθ=3(cosθ+)2-.

由于cosθ∈［-1,1］,

所以当cosθ=-时,t有最小值-;

当cosθ=1时,t有最大值5.

练习册系列答案
相关题目
设复数β=x+yi（x，y∈R）与复平面上点P（x，y）对应．
（1）若β是关于t的一元二次方程t2-2t+m=0（m∈R）的一个虚根，且|β|=2，求实数m的值；
（2）设复数β满足条件|β+3|+（-1）n|β-3|=3a+（-1）na（其中n∈N*、常数a∈ (
3
2
 ， 3)），当n为奇数时，动点P（x、y）的轨迹为C1．当n为偶数时，动点P（x、y）的轨迹为C2．且两条曲线都经过点D(2，
2
)，求轨迹C1与C2的方程；
（3）在（2）的条件下，轨迹C2上存在点A，使点A与点B（x0，0）（x0＞0）的最小距离不小于
2
3
3
，求实数x0的取值范围．
给出下列命题，其中错误的是
③④
③④
．
①若x+yi=1+i（x，y∈R），则x=y=1．
②若z=
.
z
，则z为实数．
③若z1，z2为复数，且
z
2
1
+
z
2
2
=0，则
z
 
1
=
z
 
2
=0．
④复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数的充要条件为a=0．
⑤N⊆Z⊆Q⊆R⊆C．
设复数β=x+yi（x、y∈R）与复平面上点P（x，y）对应．
（1）若β是关于t的一元二次方程t2-2t+m=0（m∈R）的一个虚根，且|β|=2|，求实数m的值．
（2）设复数β满足条件|β+3|+（-1）n|β-3|=3a+（-1）na（其中n∈N*，a∈(
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，3)），当n为奇数时，动点P（x，y）的轨迹为C1；当n为偶数时，动点P（x，y）的轨迹为C2，且两条曲线都经过点D(2，
2
)，求轨迹C1与的C2方程？
已知复数z=（a2-4sin2θ）+2（cosθ+1）i，其中a∈R+，θ∈（0，π），i为虚数单位，且z是方程x2+2x+2=0的一个根．
（1）求θ与a的值；
（2）若w=x+yi（x，y为实数），求满足|w-1|≤|
.
z
z+i
|的点（x，y）表示的图形的面积．

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