题目内容

设复数β=x+yi（x，y∈R）与复平面上点P（x，y）对应．
（1）若β是关于t的一元二次方程t2-2t+m=0（m∈R）的一个虚根，且|β|=2，求实数m的值；
（2）设复数β满足条件|β+3|+（-1）n|β-3|=3a+（-1）na（其中n∈N*、常数a∈ (
3
2
 ， 3)），当n为奇数时，动点P（x、y）的轨迹为C1．当n为偶数时，动点P（x、y）的轨迹为C2．且两条曲线都经过点D(2，
2
)，求轨迹C1与C2的方程；
（3）在（2）的条件下，轨迹C2上存在点A，使点A与点B（x0，0）（x0＞0）的最小距离不小于
2
3
3
，求实数x0的取值范围．
分析：（1）由实系数方程虚根成对，利用韦达定理直接求出m的值．
（2）方法一：分n为奇数和偶数，化出a的范围，联立双曲线方程，求出a值，推出双曲线方程即可．
方法二：由题意分a的奇偶数，联立方程组，求出复数β，解出a，根据双曲线的定义求出双曲线方程．
（3）设点A的坐标，求出|AB|表达式，根据x范围，x的对称轴讨论0＜x0≤
3
3
2
，x0＞
3
3
2
时，|AB|的最小值，不小于
2
3
3
，求出实数x0的取值范围．
解答：解：（1）β是方程的一个虚根，则
.
β
是方程的另一个虚根，（2分）
则β•
.
β
=m=|β|2=4，所以m=4（2分）
（2）方法1：①当n为奇数时，|α+3|-|α-3|=2a，常数a∈ (
3
2
 ， 3)），
轨迹C1为双曲线，其方程为
x2
a2
-
y2
9-a2
=1；（2分）
②当n为偶数时，|α+3|+|α-3|=4a，常数a∈ (
3
2
 ， 3)），
轨迹C2为椭圆，其方程为
x2
4a2
+
y2
4a2-9
=1；（2分）
依题意得方程组
4
4a2
+
2
4a2-9
=1
4
a2
-
2
9-a2
=1
?
4a4-45a2+99=0
a4-15a2+36=0  

解得a2=3，
因为
3
2
＜a＜3，所以a=
3
，
此时轨迹为C1与C2的方程分别是：
x2
3
-
y2
6
=1，
x2
12
+
y2
3
=1．（2分）
方法2：依题意得
|β+3|+|β-3|=4a
|β+3|-|β-3|=2a
?
|β+3|=3a
|β-3|=a
（2分）
轨迹为C1与C2都经过点D(2，
2
)，且点D(2，
2
)对应的复数β=2+
2
i，
代入上式得a=
3
，（2分）
即|β+3|-|β-3|=2
3
对应的轨迹C1是双曲线，方程为
x2
3
-
y2
6
=1；
|β+3|+|β-3|=4
3
对应的轨迹C2是椭圆，方程为
x2
12
+
y2
3
=1．（2分）
（3）由（2）知，轨迹C2：
x2
12
+
y2
3
=1，设点A的坐标为（x，y），
则|AB|2=(x-x0)2+y2=(x-x0)2+3-
1
4
x2
=
3
4
x2-2x0x+
x
2
0
+3=
3
4
(x-
4
3
x0)2+3-
1
3
x
2
0
，
x∈[-2
3
，2
3
]（2分）
当0＜
4
3
x0≤2
3
即0＜x0≤
3
3
2
时，|AB|2min=3-
1
3
x
2
0
≥
4
3
?0＜x0≤
5

当
4
3
x0＞2
3
即x0＞
3
3
2
时，|AB|min=|x0-2
3
|≥
2
3
3
?x0≥
8
3
3
，（2分）
综上0＜x0≤
5
或x0≥
8
3
3
．（2分），
点评：本题考查复数的基本概念，轨迹方程，直线与圆锥曲线的综合问题，考查分类讨论思想，转化思想，是中档题．
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（2）设复数β满足条件|β+3|+（-1）n|β-3|=3a+（-1）na（其中n∈N*、常数），当n为奇数时，动点P（x、y）的轨迹为C1．当n为偶数时，动点P（x、y）的轨迹为C2．且两条曲线都经过点，求轨迹C1与C2的方程；
（3）在（2）的条件下，轨迹C2上存在点A，使点A与点B（x，0）（x＞0）的最小距离不小于，求实数x的取值范围．

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