题目内容
已知椭圆C：
+
=1(a＞b＞0)的右焦点为F（1，0），短轴的端点分别为B1，B2，且
•
=-a．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于M，N两点，弦MN的垂直平分线与x轴相交于点D．设弦MN的中点为P，试求
的取值范围．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| FB1 |
| FB2 |
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于M，N两点，弦MN的垂直平分线与x轴相交于点D．设弦MN的中点为P，试求
| |DP| |
| |MN| |
（Ⅰ）由题意不妨设B1（0，-b），B2（0，b），则
=(-1，-b)，
=(-1，b)．
∵
•
=-a，∴1-b2=-a，又∵a2-b2=1，解得a=2，b=
．
∴椭圆C的方程为
+
=1；
（Ⅱ）由题意得直线l的方程为y=k（x-1）．
联立
得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=
，x1x2=
．
∴弦MN的中点P(
，
)．
∴|MN|=
=
=
．
直线PD的方程为y+
=-
(x-
)．
∴|DP|=
．
∴
=
=
=
．
又∵k2+1＞1，∴0＜
＜1，
∴0＜
＜
．
∴
的取值范围是(0，
)．
| FB1 |
| FB2 |
∵
| FB1 |
| FB2 |
| 3 |
∴椭圆C的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（Ⅱ）由题意得直线l的方程为y=k（x-1）．
联立
|
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=
| 8k2 |
| 3+4k2 |
| 4k2-12 |
| 3+4k2 |
∴弦MN的中点P(
| 4k2 |
| 3+4k2 |
| -3k |
| 3+4k2 |
∴|MN|=
| (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] |
(1+k2)[
|
| 12(k2+1) |
| 4k2+3 |
直线PD的方程为y+
| 3k |
| 4k2+3 |
| 1 |
| k |
| 4k2 |
| 4k2+3 |
∴|DP|=
3
| ||
| 4k2+3 |
∴
| |DP| |
| |MN| |
| ||||
|
| 1 |
| 4 |
|
| 1 |
| 4 |
1-
|
又∵k2+1＞1，∴0＜
| 1 |
| k2+1 |
∴0＜
| 1 |
| 4 |
1-
|
| 1 |
| 4 |
∴
| |DP| |
| |MN| |
| 1 |
| 4 |
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