Question

已知四棱锥P-ABCD的三视图如右图，该棱锥中，PA=AB=1，PD与平面ABCD所成角是30°，点F是PB的中点，点E在棱BC上移动．
（I）画出该棱锥的直观图并证明：无论点E在棱BC的何处，总有PE⊥AF；
（II）连接DE，设G为DE上一动点，当三棱锥P-AGE的体积为

3

12

时，试确定G在DE上的位置．

Answer 1

分析：（I）根据四棱锥P-ABCD的三视图，及PA=AB=1，PD与平面ABCD所成角是30°我们易画出该棱锥的直观图，结合F是PB的中点，点E在棱BC上移动，我们易根据三角形的性质，分别证明出AF⊥BP，AF⊥BC，进而得到AF与平面PBC垂直，然后根据线面垂直的定义得到结论．
（II）由G为DE上一动点，三棱锥P-AGE的体积为

3

12

，我们根据棱锥的体积计算公式，我们易计算出底面AGE的面积，进而判断出G在DE上的位置．

解答：解：（I）直观图如下图所示：
在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，
∴∠PDA是PD与底面ABCD所成的角，
∴∠PDA=30°，
又∵BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA=A
∴BC⊥平面PAB，
∴BC⊥AF
又∵PA=AB=1，F是PB的中点，
∴AF⊥PB，又由BP∩BC=B，
∴AF⊥面PBC
又由PE?面PBC
∴AF⊥PE
（II）VP-AGE=

1

3

S△AGE•PA
又∵PA=AB=1，在RT△PAD中，易得AD=

3

设A到DE的距离为h，则S_△AGE=

1

2

EG•h
∴VP-AGE=

1

3

S△AGE•PA=

1

6

•EG•h=

3

12

∴EG•h=

3

2

又∵S_△AED=

1

2

AD•AB=

1

2

ED•h
∴

3

=ED•h
∴EG•

3

ED

=

3

2

∴2EG=ED
即G是ED的中点．

点评：本题考查的知识点是棱锥的体积公式，简单空间图形的三视图及空间几何体的直观图，其中根据已知的三视图，画出直观图，用图形更加直观的表示出空间的线、面关系是解答本题的关键．