Question

【题目】在平面直角坐标系中，椭圆的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）求椭圆的极坐标方程和直线的直角坐标方程；

（2）若点的极坐标为，直线与椭圆相交于，两点，求的值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】

（1）由椭圆的参数方程消参数可得椭圆的普通方程，再将代入椭圆的普通方程即可求得椭圆的极坐标方程，由即可将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，问题得解。

（2）求出点的直角坐标为，即可设直线的参数方程为，联立椭圆方程与直线参数方程，可得：，，结合直线参数方程中参数的几何意义可得 ，问题得解。

（1）椭圆的普通方程为，

将代入整理得：

椭圆的极坐标方程为，

由得直线的直角坐标方程为：；

（2）设点，对应的参数分别为，，

点的直角坐标为：，它在直线上.

设直线的参数方程为（为参数），

代入，得，

化简得，所以，

由直线参数方程的几何意义可得：

.