Question

本题满分15分）已知函数，.
(Ⅰ)当时，求函数的极值点；
(Ⅱ)若函数在导函数的单调区间上也是单调的，求的取值范围；
(Ⅲ) 当时，设，且是函数的极值点，证明：.

Answer 1

(Ⅰ)  (Ⅱ) 或 (Ⅲ)见解析

试题分析：(Ⅰ)当时， （），
令，
解得(舍)， ，                                 ……1分
容易判断出函数在区间单调递减，在区间，+∞)上单调递增
……2分
∴在时取极小值.                                      ……4分
(Ⅱ)解法一：                        ……5分
令，
，设的两根为 ，
1⁰当即，≥0，∴单调递增，满足题意.         ……6分
2⁰当即或时,
(1)若，则,即时,
在上递减，上递增，,
 ∴在(0，+∞)单调增，不合题意.          ……7分
(2)若 则,即时在(0，+∞)上单调增，满足题意.
……8分
(3) 若则 即a>2时
∴在(0，)上单调递增，在(，)上单调递减，在(，+∞)上单调递增，
不合题意.                                                             ……9分
综上得或.                                            ……10分
解法二： ,                                  ……5分
令，，
设的两根 
1⁰当即，≥0，∴单调递增，满足题意.           ……6分
2⁰当即或时,
(1)当 若，即时,,
在上单调递减，在上单调递增， ，
∴ 在(0，+∞)单调增不合题意.           ……7分
若 ，即时， f(x)在(0，+∞)上单调增，满足题意.
……8分
(2)当时，，
∴f(x)在(0，x₁)单调增，(x₁，x₂)单调减，(x₂，+∞)单调增，不合题意      ……9分
综上得或.                                           ……10分
（Ⅲ)，             
令，即，当时，，
所以，方程有两个不相等的正根，
不妨设，则当，＜0，
当时，＞0，                                        ……11分   所以，有极小值点和极大值点，且，．


．                        ……13分
令，，
则当时，＝－＝＜0，在)单调递减，……14分所以即                 ……15分
点评：新课标对有关函数的综合题的考查，重在对函数与导数知识理解的准确性、深刻性，重在与方程、不等式等相关知识的相互联系，要求学生具备较高的数学思维能力以及较强的运算能力，体现了以函数为载体，多种能力同时考查的命题思想.