Question

13．如图，在底角为45°的等腰梯形ABCD中，$\overrightarrow{AB}$=3$\overrightarrow{DC}$，M，N分别为CD，BC的中点．设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$．
（1）用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{AN}$；
（2）若|$\overrightarrow{a}$|=3，求$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的三角形法则表示；
（2）求出|$\overrightarrow{b}$|，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，把（1）的结果代入计算即可．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AD}+$$\overrightarrow{DM}$=$\overrightarrow{AD}+$$\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{AD}+$$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，
$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}$-$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{b}+\frac{1}{3}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$．
（2）过D作AB的垂线DE，则DE=AE=$\frac{1}{2}$（AB-DC）=1，
∴|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=3×$\sqrt{2}×$cos45°=3．
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$=（$\frac{1}{6}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）•（$\frac{2}{3}\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$）=$\frac{1}{9}{\overrightarrow{a}}^{2}$+$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{b}}^{2}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1+1+$\frac{9}{4}$=$\frac{17}{4}$．

点评 本题考查了平面向量的线性运算，数量积运算，属于中档题．