Question

设数列{a_n}的前n项和S_n=，n=1，2，3，…
（1）求首项a₁与通项a_n。
（2），n=1，2，3，…，证明：。

Answer 1

解：（1）由
得
所以a₁=2
再由①有

将①和②相减得

整理得a_n+2ⁿ=4（a_n-1+2^n-1），n=2，3，…，
因而数列{a_n+2ⁿ}是首项为a₁+2 =4，公比为4的等比数列，
即a_n+2ⁿ=4×4^n-1=4ⁿ，n=1，2，3，…，
因而a_n=4ⁿ-2ⁿ，n=1，2，3，…。
（2）将a_n=4ⁿ-2ⁿ代入①得


所以
。