Question

1．在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，点P在AM上且满足$\overrightarrow{{P}{M}}=2\overrightarrow{{A}{P}}$，则$\overrightarrow{{P}{A}}•（{\overrightarrow{{P}{B}}+\overrightarrow{{P}C}}）$=（　　）

• A． 4
• B． $-\frac{16}{9}$
• C． -2
• D． -4

Answer 1

分析 如图所示，以PB，PC为邻边作平行四边形PBDC，可得$\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$=$2\overrightarrow{PM}$．由$\overrightarrow{{P}{M}}=2\overrightarrow{{A}{P}}$，可得$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{PM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$．代入$\overrightarrow{{P}{A}}•（{\overrightarrow{{P}{B}}+\overrightarrow{{P}C}}）$即可得出．

解答 解：如图所示，
以PB，PC为邻边作平行四边形PBDC，
则$\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$=$2\overrightarrow{PM}$，
∵AM=3，点P在AM上且满足$\overrightarrow{{P}{M}}=2\overrightarrow{{A}{P}}$，
∴$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{PM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$．
∴$\overrightarrow{{P}{A}}•（{\overrightarrow{{P}{B}}+\overrightarrow{{P}C}}）$=-$\frac{1}{3}\overrightarrow{AM}$$•\frac{4}{3}\overrightarrow{AM}$
=$-\frac{4}{9}{\overrightarrow{AM}}^{2}$=-$\frac{4}{9}$×3²=-4．
故选：D．

点评 本题考查了数量积运算性质、向量的平行四边形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．