Question

如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点.的最大值是，的最小值是，满足.

(1) 求该椭圆的离心率；

(2) 设线段的中点为，的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点.记的面积为，的面积为，求的取值范围.

 

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的离心率、椭圆与直线相交问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，设出F点坐标，数形结合，根据椭圆的性质，得到代入已知中，得到，计算出椭圆的离心率；第二问，根据题意，设出椭圆方程和直线方程，两方程联立，消参，利用韦达定理，得到和，利用三角形相似得到所求的比例值，最后求范围.

试题解析：(1) 设，则根据椭圆性质得

而，所以有，即，，

因此椭圆的离心率为. （4分）

(2) 由(1)可知，，椭圆的方程为.

根据条件直线的斜率一定存在且不为零，设直线的方程为，

并设则由消去并整理得

从而有， （6分）

所以.

因为，所以，.

由与相似，所以

. （10分）

令，则，从而

，即的取值范围是. （12分）

考点：椭圆的标准方程、椭圆的离心率、椭圆与直线相交问题.