Question

20．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=4．
（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）求曲线C上的点到直线l的最大距离．

Answer 1

分析 （1）根据基本公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出直线l的直角坐标方程；根据椭圆的参数方程，运用同角的平方关系，求出曲线C的普通方程；
（2）根据曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）设出曲线C上任意一点P（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ），运用点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，求出最大距离．

解答 解：（1）由ρ（cosθ+sinθ）=4得直线l的直角坐标方程为x+y-4=0．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，得C的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．
（2）在曲线C：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$上任取一点P（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ），
则点P到直线l的距离为：$d=\frac{{|\sqrt{3}cosθ+sinθ-4|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|2sin（θ+\frac{π}{3}）-4|}}{{\sqrt{2}}}≤3\sqrt{2}$，
当sin（θ+$\frac{π}{3}$）=1时，取得最大值3$\sqrt{2}$．
故曲线C上的点到直线l的最大距离为3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程，考查点到直线的距离公式，以及正弦函数的值域的运用，属于中档题．