题目内容

若{a_n}是等比数列， $数学公式$ ，则a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_n-1a_n=________．

$\text{[math]}$
分析：用等比数列的性质可求得等比数列{a_n}的公比，再构造数列b_n=a_n•a_n+1，利用等比数列的定义证明{b_n}是等比数列，再求和即可．
解答：∵{a_n}是等比数列， $\text{[math]}$ ，设其公比为q，
则 $\text{[math]}$ ，q= $\text{[math]}$ ，令b_n=a_n•a_n+1， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （n≥2）又 $\text{[math]}$ ，
∴{b_n}是首项为8，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，设其前n项和为S_n，则S_n-1=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_n-1a_n= $\text{[math]}$ ；
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查等比数列的性质，难点在于构造新数列b_n=a_n•a_n+1，证明{b_n}为等比数列，再求和，综合性强，属于中档题．

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