Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=a（a＞0）
（Ⅰ）若{a_n}是等差数列，a₂•a₃=6，求a的值及数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若{a_n}是等比数列，且公比不为1，证明数列{a_n+1}不是等比数列．

Answer 1

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则可得d=a-1，进而可得a₃，代入已知可得a的方程，解方程可得a值，可得通项公式；
（2）设等比数列{a_n}的公比为q，q≠1，则q=a，a_n=a^n-1，假设数列{a_n+1}是等比数列，可得（a_n+1+1）²=（a_n+1）（a_n+2+1），代入后推矛盾即可．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则d=a₂-a₁=a-1，
∴a₃=a₂+d=2a-1，∴a₂•a₃=a（2a-1）=6，
解得a=2，或a=-

3

2

（舍去），
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）×1=n；
（2）设等比数列{a_n}的公比为q，q≠1，
则q=a，a_n=a^n-1，
假设数列{a_n+1}是等比数列，
则（a_n+1+1）²=（a_n+1）（a_n+2+1）
∴（aⁿ+1）²=（a^n-1+1）（aⁿ⁺¹+1）
展开化简可得2aⁿ=a^n-1+aⁿ⁺¹，
同除以a^n-1可得a²-2a+1=0，解得a=1，
可得q=1，这与q≠1矛盾，
∴数列{a_n+1}不是等比数列

点评：本题考查等差数列与等比数列的通项公式和性质，涉及反证法的应用，属中档题．