题目内容

14．已知函数f（x）=ln$\frac{kx-1}{x-1}$（k＞0）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）在区间[10，+∞）上是增函数，求 实数k的取值范围．

分析 （1）由题意得，$\frac{kx-1}{x-1}$＞0，从而分类讨论求定义域；
（2）若函数f（x）=ln$\frac{kx-1}{x-1}$在区间[10，+∞）上是增函数，则y=$\frac{kx-1}{x-1}$在区间[10，+∞）上是增函数，且$\frac{kx-1}{x-1}$＞0在[10，+∞）上恒成立；结合（1）可得$\left\{\begin{array}{l}{0＜k＜1}\\{\frac{1}{k}＜10}\end{array}\right.$，从而解得．

解答 解：（1）由题意得，$\frac{kx-1}{x-1}$＞0，
①当0＜k＜1时，x＞$\frac{1}{k}$或x＜1；
故函数f（x）的定义域为（-∞，1）∪（$\frac{1}{k}$，+∞）；
②当k=1时，x＞1或x＜1；
故函数f（x）的定义域为（-∞，1）∪（1，+∞）；
③当k＞1时，x＜$\frac{1}{k}$或x＞1；
故函数f（x）的定义域为（-∞，$\frac{1}{k}$）∪（1，+∞）；
（2）若函数f（x）=ln$\frac{kx-1}{x-1}$在区间[10，+∞）上是增函数，
则y=$\frac{kx-1}{x-1}$在区间[10，+∞）上是增函数，且$\frac{kx-1}{x-1}$＞0在[10，+∞）上恒成立；
由（1）知，$\left\{\begin{array}{l}{0＜k＜1}\\{\frac{1}{k}＜10}\end{array}\right.$，
解得，$\frac{1}{10}$＜k＜1．

点评 本题考查了复合函数的定义域的求法及分类讨论的思想应用．

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