Question

设函数f(x)=

2

3

+

1

x

(x＞0)，数列{a_n}满足a1=1，an=f(

1

an-1

)，n∈N*且n≥2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）对n∈N^*，设Sn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

anan+1

，求证：Sn＜

3

2

．

Answer 1

分析：（1）根据函数f(x)=

2

3

+

1

x

(x＞0)，an=f(

1

an-1

)，n∈N*，n≥2，可得a_n-a_n-1=

2

3

，从而数列{a_n}是等差数列，由此可求数列{a_n}的通项公式；
（2）裂项可得

1

anan+1

=

9

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，求出S_n，即可证得结论．

解答：（1）解：∵函数f(x)=

2

3

+

1

x

(x＞0)，an=f(

1

an-1

)，n∈N*，n≥2，
∴a_n-a_n-1=

2

3

∴数列{a_n}是等差数列
∵a₁=1，
∴a_n=

2n+1

3

（2）证明：∵

1

anan+1

=

9

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)
∴Sn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

anan+1

=

9

2

(

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

)
=

9

2

(

1

3

-

1

2n+3

)＜

3

2

点评：本题考查数列与函数的结合，考查数列的通项，考查裂项法求和，考查不等式的证明，确定数列的通项是关键．