Question

设函数f(x)=

2

3

+

1

x

(x＞0)，数列{a_n}满足a1=1，an=f(

1

an-1

)，n∈N*且n≥2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）对n∈N^*，设Sn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

anan+1

，若Sn≥

3t

4n

恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由an=f(

1

an-1

)推出递推关系式a_n-a _n-1=

2

3

，n≥2，从而有数列{a_n}为等差数列，最后写出通项公式．
（II）由（I）得a_n=

2n+1

3

．a_n+1=

2n+3

3

．得出a_na_n+1=

(2n+1)(2n+3)

9

，从而有

1

anan+1

=

9

(2n+1)(2n+3)

=

9

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，利用拆项法求和Sn，再结合题设利用函数的最小值，从而求得实数t的取值范围．

解答：解：（I）由an=f(

1

an-1

)可得a_n-a _n-1=

2

3

，n≥2，
故数列{a_n}为等差数列，
又a₁=1，
它的通项公式a_n=

2n+1

3

．
（II）Sn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

anan+1

，
由（I）得a_n=

2n+1

3

．a_n+1=

2n+3

3

．
∴a_na_n+1=

(2n+1)(2n+3)

9

，
∴

1

anan+1

=

9

(2n+1)(2n+3)

=

9

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，
∴Sn=

9

2

(

1

3

-

1

2n+3

)=

3n

2n+3

，
Sn≥

3t

4n

?

3n

2n+3

≥

3t

4n

?t≤

4n2

2n+3

，令g（n）=

4n2

2n+3

，
g（n）=

4n2-9+9

2n+3

=2n+3+

9

2n+3

-6，由于2n+3≥5，故g（n）的最小值为

4

5

，
∴t≤

4

5

，
∴实数t的取值范围（-∞，

4

5

]．

点评：本题考查数列的求和、数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意递推公式的灵活运用．