Question

已知f(x)=ax³+bx²+cx(a≠0)在x=±1时取得极值,且f(1)=-1,

(1)试求常数a、b、c的值;

(2)试判断x=±1是函数的极小值点还是极大值点,并说明理由.

Answer 1

解:(1)f′(x)=3ax²+2bx+c,由f′(1)=f′(-1)=0,得3a+2b+c=0,3a-2b+c=0.

又f(1)=-1,∴a+b+c=-1.联立，解得a=,b=0,c=-.

(2)由（1）知，f(x)= x³-x,

∴f′(x)= x²-=(x-1)(x+1).

当x＜-1或x＞1时,f′(x)＞0;当-1＜x＜1时,f′(x)＜0.

∴函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上为增函数,在(-1,1)上为减函数.

∴当x=-1时,函数取得极大值f(-1)=1，x=-1为极大值点;当x=1时,函数取得极小值f(1)=-1，x=1为极小值点.

绿色通道:

本题从逆向思维的角度出发,根据题设结构进行逆向联想,合理地实现了问题的转化,使抽象问题具体化,在转化的过程中充分把握了解题的大方向.