Question

已知等差数列lgx₁，lgx₂，…，lgx_n的第r项为s，第s项为r（0＜r＜s），则x₁+x₂+…+x_n=

10r+s

9

(1-

1

10n

)

．

Answer 1

分析：设此等差数列的公差为d，利用等差数列lgx₁，lgx₂，…，lgx_n的第r项为s，第s项为r（0＜r＜s），可得s=lgx_r=lgx₁+（r-1）d，r=lgx_s=lgx₁+（s-1）d．两式相减得s-r=（r-s）d，解得d=-1．可得lgx₁=s+r-1，得到x1=10s+r-1．于是lgx_n=lgx₁+（n-1）×（-1），化为xn=101-nx1．代入所求的式子，利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答：解：设此等差数列的公差为d，
∵等差数列lgx₁，lgx₂，…，lgx_n的第r项为s，第s项为r（0＜r＜s），
∴s=lgx_r=lgx₁+（r-1）d，r=lgx_s=lgx₁+（s-1）d．
两式相减得s-r=（r-s）d，解得d=-1．
∴lgx₁=s+r-1，得到x1=10s+r-1．
∴lgx_n=lgx₁+（n-1）×（-1），化为xn=101-nx1．
∴x₁+x₂+…+x_n=x1(1+

1

10

+

1

102

+…+

1

10n-1

)=

1- 1 10n

1- 1 10

×10s+r-1=

10r+s

9

(1-

1

10n

)．
故答案为：

10r+s

9

(1-

1

10n

)．

点评：本题考查了等差数列的通项公式及其性质、等比数列的前n项和公式、对数的运算性质等基础知识与基本技能方法，属于难题．