Question

已知函数f(x)＝x3＋x－16.

(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；

(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；

(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程。

Answer 1

解　(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．

∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.

∴f′(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.

∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，

即y＝13x－32.

(2)法一　设切点为(x0，y0)，

则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，

∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16，

又∵直线l过点(0,0)，∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，

整理得，x＝－8，∴x0＝－2，

∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.

∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26.)

法二　设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，

则k＝

又∵k＝f′(x0)＝3x＋1，∴＝3x＋1，

解之得x0＝－2，

∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.

∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．

(3)∵切线与直线y＝－x＋3垂直，

∴切线的斜率k＝4.

设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x＋1＝4，

∴x0＝±1，

∴

切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.

即y＝4x－18或y＝4x－14.