Question

【题目】已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．

（1）若AF＝4，求点A的坐标；

（2）求线段AB的长的最小值．

Answer 1

【答案】（1） （3，2）或（3，－2） （2）4

【解析】

试题（1）由y2＝4x，得p=2，其准线方程为x=-1，焦点F（1，0）．设A，B．由抛物线的定义可知，，从而．由此能得到点A的坐标；（2）分类讨论，设直线l的方程为y=k（x-1），代入y2＝4x整理得，其两根为，且．由抛物线的定义可知线段AB的长

试题解析：（1）由抛物线的定义可知，AF＝x1＋，

从而x1＝4－1＝3．

代入y2＝4x，解得y1＝±．

∴点A的坐标为（3，）或（3，－）．

（2）当直线l的斜率存在时，

设直线l的方程为y＝k（x－1）．

与抛物线方程联立，

消去y，整理得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0，

因为直线与抛物线相交于A、B两点，

则k≠0，并设其两根为x1，x2，则

由抛物线的定义可知，

当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线相交于A（1，2），B（1，－2），

此时AB＝4，所以，AB≥4，即线段AB的长的最小值为4．