题目内容

椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一个焦点F1（-2，0），右准线方程x=8．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若M为右准线上一点，A为椭圆C的左顶点，连接AM交椭圆于点P，求
PM
AP
的取值范围；
（3）设圆Q：（x-t）2+y2=1（t＞4）与椭圆C有且只有一个公共点，过椭圆C上一点B作圆Q的切线BS、BT，切点为S，T，求
BS
•
BT
的最大值．
分析：（1）由题意知c=2，
a2
c
=8，由此得a2=16，b2=12，从而能够得到所求椭圆方程．
（2）设P点横坐标为x0，则
PM
AP
=
8-x0
x0+4
=
12
x0+4
-1，由-4＜x0≤4，知
PM
AP
=
8-x0
x0+4
=
12
x0+4
-1≥
1
2
，由此能得到
PM
AP
的取值范围．
（3）由题意得圆心Q为（5，0），设BQ=x，则
BS
•
BT
=|
BS
|•|
BT
|cos∠SBT=|
BS
|•|
BT
|(1-2sin2∠SBQ)=(x2-1)[1-2(
1
x
)2]=x2+
2
x2
-3，由此能得到
BS
•
BT
的最大值．
解答：解：（1）由题意得，c=2，
a2
c
=8得，a2=16，b2=12，
∴所求椭圆方程为
x2
16
+
y2
12
=1；（4分）
（2）设P点横坐标为x0，则
PM
AP
=
8-x0
x0+4
=
12
x0+4
-1，
∵-4＜x0≤4，∴
PM
AP
=
8-x0
x0+4
=
12
x0+4
-1≥
1
2
．
∴
PM
AP
的取值范围是[
1
2
，+∞)；（9分）
（3）由题意得，t=5，即圆心Q为（5，0），
设BQ=x，则
BS
•
BT
=|
BS
|•|
BT
|cos∠SBT
=|
BS
|•|
BT
|(1-2sin2∠SBQ)
=(x2-1)[1-2(
1
x
)2]
=x2+
2
x2
-3，
∵1＜BQ≤9，即1＜x≤9，∴1＜x2≤81，
易得函数y=x2+
2
x2
在(1，
2
)上单调递减，在(
2
，81]上单调递增，
∴x2=81时，(
BS
•
BT
)max=
6320
81
．（14分）
点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
一条斜率为1的直线l与离心率e=
2
2
的椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）交于P、Q两点，直线l与y轴交于点R，且
.
OP
•
.
OQ
=-3，
.
PR
=3
.
RQ
，求直线l和椭圆C的方程．
直角坐标系xoy中，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A1，A2，上、下顶点为B2，B1，点P（
3
5
a，m）（m＞0）是椭圆C上一点，PO⊥A2B2，直线PO分别交A1B1、A2B2于点M、N．
（1）求椭圆离心率；
（2）若MN=
4
21
7
，求椭圆C的方程；
（3）在（2）的条件下，设R点是椭圆C上位于第一象限内的点，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，RQ平分∠F1RF2且与y轴交于点Q，求点Q纵坐标的取值范围．
如图，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的离心率为
3
2
，过椭圆C上一点P（2，1）作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于点A、B，直线AB与x轴交于点M，与y轴负半轴交于点N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）若S△PMN=
3
2
，求直线AB的方程．
如图所示，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率e=
2
2
，左焦点为F1（-1，0），右焦点为F2（1，0），短轴两个端点为A、B．与x轴不垂直的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N，记直线AM、AN的斜率分别为k1、k2，且k1k2=
3
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证直线l与y轴相交于定点，并求出定点坐标．
（3）当弦MN的中点P落在△MF1F2内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右顶点的坐标分别为A（-2，0），B（2，0），离心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）设椭圆的两焦点分别为F1，F2，若直线l：y=k（x-1）（k≠0）与椭圆交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．

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