Question

【题目】如图，在三棱锥中，是正三角形，为其中心.面面，，，是的中点，.

（1）证明：面；

（2）求与面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】试题分析：

（1）连结，由重心的性质可得在中有，则，结合线面平行的判定定理可得平面.

（2）解法一：作 交的延长线于，作 交的延长线于，由题意可得为与面所成角，.

解法二：以中点为原点，建立空间直角坐标系.可得，面的法向量为，则所求角的正弦值.

试题解析：

（1）连结，因为是正三角形的中心，所以在上且，又，所以在中有，

所以，又平面， 平面，

所以平面.

（2）解法一：作 交的延长线于，作 交的延长线于，

由面面知面，所以，又 ，所以

所以面,所以面面，作，则面

连结，则为与面所成角，

∴，即所求角的正弦值为.

解法二：以中点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

∵，

∴，， ， ，

∴，，，.

设面的法向量为，则

取，

∴，即所求角的正弦值为.