Question

3．如图，已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，以椭圆E的短轴的两端点和两焦点所围成的四边形的周长为8，直线l：y=kx+m与y轴交于点M，与椭圆E交于不同两点A，B．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若$\overrightarrow{AM}=-3\overrightarrow{BM}$，求m²的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），由题意可知：4a=8，即a=2，由离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则c=$\sqrt{3}$，则b²=a²-c²=1，即可求得椭圆的标准方程；
（2）求出P（0，m），设A（x₁，kx₁+m），B（x₂，kx₂+m），通过直线与椭圆方程联立，利用△＞0，推出不等式，k²-m²+4＞0．由$\overrightarrow{AM}=-3\overrightarrow{BM}$，得到x₁=-3x₂，由3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0，求得m²k²+m²-k²-4=0，则k²=$\frac{4-{m}^{2}}{{m}^{2}-1}$，然后求解m²的取值范围．

解答 解：（1）由椭圆E焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
由椭圆E的短轴的两端点和两焦点所围成的四边形的周长为4a，
∴4a=8，即a=2，
离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则c=$\sqrt{3}$，
由b²=a²-c²=1．…（2分）
∴椭圆E的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}=1$；…（4分）
（2）根据已知得P（0，m），设A（x₁，kx₁+m），B（x₂，kx₂+m），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，整理得（k²+4）x²+2mkx+m²-4=0，
由已知得△=4m²k²-4（k²+4）（m²-4）＞0，
即k²-m²+4＞0．
由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{2km}{4+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-4}{4+{k}^{2}}$，②
由$\overrightarrow{AM}=-3\overrightarrow{BM}$，则-x₁=3x₂，即x₁=-3x₂．
由3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0
∴$\frac{12{k}^{2}{m}^{2}}{（{k}^{2}+4）^{2}}$+$\frac{4（{m}^{2}-4）}{{k}^{2}+4}$=0，即m²k²+m²-k²-4=0．
当m²=1时，m²k²+m²-k²-4=0不成立．
∴k²=$\frac{4-{m}^{2}}{{m}^{2}-1}$，
∵k²-m²+4＞0，
∴$\frac{4-{m}^{2}}{{m}^{2}-1}$-m²+4＞0，即$\frac{（4-{m}^{2}）{m}^{2}}{{m}^{2}-1}$＞0．
∴1＜m²＜4，
∴m²的取值范围为（1，4）

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用，属于中档题．