Question

已知M（2，0），N（-2，0），动点P满足|PN|-|PM|=2，点P的轨迹为W，过点M的直线与轨迹W交于A，B两点．
（Ⅰ）求轨迹W的方程；
（Ⅱ）若2

AM

=

MB

，求直线AB斜率k的值，并判断以线段AB为直径的圆与直线x=

1

2

的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用双曲线的定义求轨迹方程．
（2）点斜式设出直线AB的方程，代入双曲线方程，利用判别式及根与系数的关系求k的值，利用双曲线的几何性质求出AB的长，计算圆心到直线直线x=

1

2

的距离，将此距离与圆的半径比较，得出结论．

解答：解：（Ⅰ）∵|PN|-|PM|=2＜|MN|=4，
∴点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，
且a=1，c=2，b=

3

．
∴轨迹W的方程为x2-

y

3

2=1(x≥1)．（4分）
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=k（x-2）．
由

y=k(x-2) x2- y 3 2=1

得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0．（5分）
设A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂），
则x1+x2=

4k2

k2-3

＞0，①
x1x2=

4k2+3

k2-3

＞0，②
△=16k⁴+4（3-k²）（4k²+3）＞0．③（8分）
由①②③解得k²＞3．（9分）
∵2

AM

=

MB

，
∴2（2-x₁，-y₁）=（x₂-2，y₂），
∴x₂=6-2x₁．代入①②，得

4k2

k2-3

=6-x1，

4k2+3

k2-3

=x1(6-2x1)．
消掉x₁得k2=35，k=±

35

．（11分）
∵M（2，0）为双曲线右支的焦点，离心率e=2．由双曲线的几何性质，
得|AB|=e(x1+x2)-2a=2×

4k2

k2-3

-2=

6(k2+1)

k2-3

．
设以AB为直径的圆的圆心为Q，Q到直线l的距离为d，
则d=

x1+x2

2

-

1

2

=

3(k2+1)

2(k2-3)

．
∴d-

|AB|

2

=

3(k2+1)

2(k2-3)

-

3(k2+1)

k2-3

=-

3(k2+1)

2(k2-3)

＜0．
∴d＜

|AB|

2

，直线l与圆Q相交．（14分）

点评：本题考查双曲线的定义，直线与双曲线的位置关系的综合应用．