题目内容

已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的离心率e＞1+
2
，左、右焦点分别为F1、F2，左准线为l，能否在双曲线的左支上找一点P，使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项？
设在左支上存在P点，使|PF1|2=|PF2|•d，由双曲线的第二定义知
|PF1|
d
=
|PF2|
|PF1|
=e，即|PF2|=e|PF1|①
再由双曲线的第一定义，得|PF2|-|PF1|=2a．②
由①②，解得|PF1|=
2a
e-1
，|PF2|=
2ae
e-1
，
∵|PF1|+|PF2|≥|F1F2|，
∴
2a
e-1
+
2ae
e-1
≥2c．③
利用e=
c
a
，由③得e2-2e-1≤0，
解得1-
2
≤e≤1+
2
．
∵e＞1，
∴1＜e≤1+
2
与已知e＞1+
2
矛盾．
∴在双曲线左支上找不到点P，使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项．
练习册系列答案
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已知双曲线
x2
a2
-
y2
7
=1，直线l过其左焦点F1，交双曲线的左支于A、B两点，且|AB|=4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则此双曲线的离心率e=
 
．
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且该双曲线的离心率为
5
，则该双曲线的渐近线方程为（　　）
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(b＞a＞0)，O为坐标原点，离心率e=2，点M(
5
，
3
)在双曲线上．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线l与双曲线交于P，Q两点，且
OP
•
OQ
=0．问：
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
是否为定值？若是请求出该定值，若不是请说明理由．
（1）已知直线l：kx-y+1+2k=0（k∈R），则该直线过定点
（-2，1）
（-2，1）
；
（2）已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的一条渐近线方程为y=
4
3
x，则双曲线的离心率为
5
3
5
3
．
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）满足| 
a1
b
2
 |=0，且双曲线的右焦点与抛物线y2=4
3
x的焦点重合，则该双曲线的方程为
 
．

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