Question

若数列{a_n}的前n项和为S_n，且有，
（1）求a₁的值；
（2）求证：；
（3）求出所有满足条件的数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由数列{a_n}的前n项和为S_n，且有，令n=1，能求出a₁．
（2）由，知，由此得以，由此能证明．
（3）由（2）得a_n-a_n-1=2或a_n+a_n-1=2，由此能求出通项公式．
解答：解：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且有，
∴n=1代入得4a₁=+4n-1，
解得a₁=1或a₁=3．…（2分）
（2）已知有，①
当n≥2时，有②…（4分）
①-②得：，
即． …（6分）
（3）由（2）得a_n-a_n-1=2或a_n+a_n-1=2，…（7分）
由得通项公式为：； …（8分）
由得通项公式为：； …（9分）
由得通项公式为：； …（10分）
由得通项公式为：；…（11分）
则所求通项公式为．…（12分）
点评：本题考查数列的首项的求法，考查等式的证明，考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．