Question

已知点（x，y）是区域

x+2y≤2n x≥0 y≥0

，（n∈N^*）内的点，目标函数z=x+y，z的最大值记作z_n．若数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且点（S_n，a_n）在直线z_n=x+y上．
（Ⅰ）证明：数列{a_n-2}为等比数列；
（Ⅱ）求数列{S_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知当直线过点（2n，0）时，目标函数取得最大值，故z_n=2n，利用（S_n，a_n）在直线z_n=x+y上，可得S_n+a_n=2n，再写一式，两式相减，化简可得数列{a_n-2}以-1为首项，

1

2

为公比的等比数列；
（Ⅱ）确定数列的通项，再分组求和，即可得到结论．

解答：（Ⅰ）证明：由已知当直线过点（2n，0）时，目标函数取得最大值，故z_n=2n
∴方程为x+y=2n
∵（S_n，a_n）在直线z_n=x+y上，∴S_n+a_n=2n①
∴S_n-1+a_n-1=2（n-1），n≥2②
由①-②得，2a_n-a_n-1=2，n≥2∴2a_n=a_n-1+2，n≥2，
∴2（a_n-2）=a_n-1-2，n≥2
∵a₁-2=-1，
∴数列{a_n-2}以-1为首项，

1

2

为公比的等比数列
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得an-2=-(

1

2

)n-1，∴an=2-(

1

2

)n-1
∵S_n+a_n=2n，
∴Sn=2n-an=2n-2+(

1

2

)n-1
∴Tn=[0+(

1

2

)0]+[2+(

1

2

)]+…+[2n-2+(

1

2

)n-1]

=[0+2+…+(2n-2)]+[( 1 2 )0+( 1 2 )+…+( 1 2 )n-1]

=

n(2n-2)

2

+

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=n2-n+2-(

1

2

)n-1．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的求和，确定数列是等比数列，求出通项是关键．