Question

已知函数f(x)=sin(

π

4

+x)sin(

π

4

-x)．
（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）设α是锐角，且sin(α-

π

4

)=

1

2

，求f（α）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） f(x)=sin(

π

4

+x)sin(

π

4

-x)=

1

2

cos2x，由 2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈z，求得f（x）的单调递减区间．
（Ⅱ）由 α是锐角，且sin(α-

π

4

)=

1

2

，得 α-

π

4

=

π

6

，α=

5π

12

，故 f（α）=

1

2

cos2x=

1

2

 cos

5π

6

．

解答：解：（Ⅰ） f(x)=sin(

π

4

+x)sin(

π

4

-x)=

1

2

 cos²x-

1

2

sin²x=

1

2

cos2x． 由 2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈z，
可得   kπ≤x≤kπ+

π

2

，故求f（x）的单调递减区间为[kπ，kπ+

π

2

]，k∈z．
（Ⅱ）∵α是锐角，且sin(α-

π

4

)=

1

2

，∴α-

π

4

=

π

6

，α=

5π

12

．
∴f（α）=

1

2

cos2x=

1

2

 cos

5π

6

=

1

2

×(-

3

2

)=-

3

．

点评：本题考查两角和差的正弦公式的应用，余弦函数的单调性，根据三角函数的值求角，求出 α=

5π

12

，是将诶提的关键．