Question

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA₁CC₁⊥平面ABCD，∠A₁AC=60°
（1）求二面角D-A₁A-C的大小．
（2）求点B₁到平面A₁ADD₁的距离
（3）在直线CC₁上是否存在P点，使BP∥平面DA₁C₁，若存在，求出点P的位置；若不存在，说出理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设BD与AC交于O，作OK⊥AA₁于K，连接DK，则DK⊥AA₁，OD⊥OK，故∠DKO为二面角D-A₁A-C的平面角，从而可求二面角D-A₁A-C的大小．
（2）连结A₁O、A₁B，由于B₁B∥平面A₁A DD₁，所以B、B₁到平面A₁A DD₁的距离相等，由，可求点B₁到平面A₁ADD₁的距离；
（3）存在，点P在C₁C的延长线上且CP=C₁C，利用线面平行的判定定理，可得结论．
解答：解：（1）设BD与AC交于O，作OK⊥AA₁于K，连接DK，则DK⊥AA₁，OD⊥OK，
故∠DKO为二面角D-A₁A-C的平面角，
∵∠OAK=60°，∴OK=
在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°
∴AC=AB=BC=2
∴AO=1，DO==
∴tan∠DKO=2，
∴二面角D-A₁A-C的平面角的余弦值是
∴二面角D-A₁A-C的大小为；
（2）连结A₁O、A₁B，由于B₁B∥平面A₁A DD₁，所以B、B₁到平面A₁A DD₁的距离相等，
设点B到平面A₁A DD₁的距离等于h．
在△AA₁O中，=3
∴
∴A₁O⊥AO
而平面A A₁C₁C⊥平面ABCD，∴A₁O⊥平面ABCD
由上述第（1）问有，ED⊥A₁A₁且=
∴==
又==
由有
∴=
即点B₁到平面A₁ADD₁的距离
（3）存在，点P在C₁C的延长线上且CP=C₁C，证明如下：
延长C₁C到P使CP=C₁C，连接B₁C，BP，则BP∥B₁C
∴BP∥A₁D
又A₁D 平面?DA₁C₁，BP?平面DA₁C₁，
∴BP∥平面DA₁C₁．
点评：本题主要考查了二面角及其度量，考查空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．