Question

【题目】【湖南省2017届高三长郡中学、衡阳八中等十三校重点中学第一次联考数学（理）】

已知函数.

（1）当时，试求函数图像过点的切线方程；

（2）当时，若关于的方程有唯一实数解，试求实数的取值范围；

（3）若函数有两个极值点，且不等式恒成立，试求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）.

【解析】试题分析：对于（1），先利用导数求出切线的斜率，再写出点斜式方程；

对于（2），方程可化为：，构造，通过研究的单调性即可求出的范围.

对于（3），首先根据有两个极值点，利用导数求出的取值范围以及极值点；将恒成立转化为恒成立，然后构建函数求出的最小值即可.

试题解析：

（1）当时，有.

∵，∴，

∴过点的切线方程为：，

即.

（2）当时，有，其定义域为：，

从而方程可化为：，

令，则，

由或；.

∴在和上单调递增，在上单调递减，

且，

又当时，；当时，.

∵关于的方程有唯一实数解，

∴实数的取值范围是：或.

（3）∵的定义域为：.

令.

又∵函数有两个极值点，

∴有两个不等实数根，

∴，且，

从而.

由不等式恒成立恒成立，

∵，

令，

∴，当时恒成立，

∴函数在上单调递减，∴，

故实数的取值范围是：.