Question

【题目】已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）若，证明：；

（3）若，直线与曲线相切，证明：.

（参考数据：，）

Answer 1

【答案】（1）在上单调递增, 在上单调递减；(2)见证明；（3）见证明

【解析】

（1）先求得，利用当，得的单调递增区间，由，得的单调递减区间.

（2）分析可得0是的极小值点，求得a，构造函数，利用导函数分析可得在上单调递减，在上单调递增.则.

从而.

（3）设切点为,列出消掉k，得到.构造函数，分析可得.

构造，分析得到为增函数，可得.得到.

（1）.

当，得，则在上单调递增；

当，得，则在上单调递减.

（2）因为，所以，则0是的极小值点.

由（1）知，则.

设函数，则.

设函数，则.易知.

则恒成立.

令，得；令，得.

则在上单调递减，在上单调递增.

则.

从而，即.

（3）设切点为,

当时，，

则

则.

即.

设函数，

，则为增函数.

又，，

则.

设，则.

若，则，为增函数.

则.又.

故.