Question

设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x²+2y²=4交于A，B两点，P是l上满足

PA

•

PB

=1的点，求点P的轨迹方程．

Answer 1

分析：确定A，B的坐标，表示出向量，利用

PA

•

PB

=1，化简可得点P的轨迹方程．

解答：解：设P（x，y），则
∵动直线l垂直于x轴，且与椭圆x²+2y²=4交于A，B两点，
∴由方程x²+2y²=4，可得A，B的纵坐标为y=±

4-x2 2

∴A（x，

4-x2 2

），B（x，-

4-x2 2

）（-2＜x＜2）．
∴

PA

=(0，

4-x2 2

-y)，

PB

=(0，-

4-x2 2

-y)
∵

PA

•

PB

=1，
∴(0，

4-x2 2

-y)•(0，-

4-x2 2

-y)=1
∴y2-

4-x2

2

=1，
∴

x2

6

+

y2

3

=1
∴点P的轨迹方程为

x2

6

+

y2

3

=1（-2＜x＜2）．

点评：本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．