Question

20．在以v千米/小时的速度向东航行的科学探测船上释放了一个探测热气球，气球顺风与船同向，以2千米/小时的速度沿与水平方向成60°直线方向向上飘去，2小时后测得探测船与气球的距离为2$\sqrt{7}$千米，之后热气球沿水平方向仍以2千米/小时的速度飞行1小时，第二次测得探测船与热气球的距离为s千米．如图．
（1）求探测船的速度v（千米/小时）；
（2）求第二次测距离时，从探测船位置观察热气球时，仰角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理解三角形ABC，得到关于v的等式解之；
（2）过C作直线DF⊥BE，垂足为F，得到DF，EF的长度，利用勾股定理得到s，得到所求．

解答 解：（1）在△ABC中，AB=2×2=4km，BC=2v，AC=2$\sqrt{7}$，∠ABC=60°，由余弦定理得到AC²=AB²+BC²-2AB×BCcos∠ABC，即28=16+4v²-8v，解得v=3，（v=-1舍去）；
（2）过D作直线DF⊥BE，垂足为F，则DF=ABsin∠ABC=2$\sqrt{3}$km，EF=BE-BF=BE-ABcos∠ABC-AD=5km，
所以s=$\sqrt{D{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{12+25}=\sqrt{37}$km，所以sin∠E=$\frac{DF}{s}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{37}}=\frac{3\sqrt{111}}{37}$．
所以第二次测距离时，从探测船位置观察热气球时仰角的正弦值为$\frac{3\sqrt{111}}{37}$．

点评 本题考查了解三角形；用到了余弦定理、勾股定理等知识．