Question

如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA=AB=，点E是棱PB的中点。

(1)求直线AD与平面PBC的距离；
(2)若AD=，求二面角A-EC-D的平面角的余弦值。

Answer 1

解：(1) 如图，在矩形ABCD 中，ADBC，从而AD平面PBC ，故直线AD 与平面PBC 的距离为点A 到平面  PBC 的距离．
因PA⊥底面ABCD ，故PA ⊥AB ，
由PA=AB 知△PAB 为等腰直角三角形，
又点E 是棱PB 的中点，故AE ⊥PB.
又在矩形ABCD 中，BC ⊥AB ，而AB 是PB 在底面ABCD 内的射影，
由三垂线定理得BC⊥PB ，从而BC⊥平面PAB ，
故BC⊥AE，从而AE ⊥平面PBC ，
故AE 的长即为直线AD与平面PBC的距离．
在Rt △PAB 中，PA=AB=，
所以
即直线AD与平面PBC的距离为
(2)过点D作DF⊥CE，交CE于F，过点F作FG⊥CE，交AC于G，
则∠DFG为所求二面角的平面角．
由(1)知BC⊥平面PAB，
又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，
故AD⊥AE，从而DE=
在Rt△CBE中，CE=又，
所以△CDE为等边三角形，
故点F为CE的中点，且DF=CD·
因为AE⊥平面PBC，
故AE⊥CE，
又FG⊥CE，
所以，从而，
且点G为AC的中点．连结DC．
则在Rt△ADC中，
所以cos∠DFG=
即二面角A-EC-D的平面角的余弦值为